Chapitre 1: Division

Leçon

La division est une opération mathématique qui, à deux nombres a et b, associe un troisième nombre (loi de composition interne), appelé quotient ou rapport, et qui peut être noté :

a:b ;

a÷b (obélus) ;

a/b (barre oblique, fraction en ligne) ;

Dans une première approche, on peut voir la quantité a÷b comme une séparation de la quantité a en b parts égales. Mais cette approche est surtout adaptée à la division entre nombre entiers, où la notion de quantité est assez intuitive. On distingue couramment la division « exacte » (celle dont on parle ici) de la division « avec reste » (la division euclidienne).

D'un point de vue pratique, on peut voir la division comme le produit du premier par l'inverse du second. Si un nombre est non nul, la fonction « division par ce nombre » est la réciproque de la fonction « multiplication par ce nombre ». Cela permet de déterminer un certain nombre de propriétés de l'opération.

En mathématiques, une fraction est un certain nombre de parts considérés après la division d'un nombre entier en parties égales. Par exemple, la fraction 56/8 désigne le quotient de 56 par 8. Elle est égale à 7 car 7 × 8 = 56. Dans cette fraction, 56 est appelé le numérateur et 8 le dénominateur.

Les nombres que l'on peut représenter par des fractions de nombres entiers sont appelés nombres rationnels. L'ensemble des rationnels est noté ℚ.

Il existe une définition plus générale et plus abstraite des fractions. Si (A, +, .) est un anneau intègre, on peut créer le corps des fractions de A. Ses éléments se notent (par analogie aux fractions d'entiers relatifs) a b {\displaystyle {\frac {a}{b}}} et possèdent les mêmes propriétés opératoires (somme, produit, simplification, ...) que les fractions de ℚ.